Question

如圖，已知，正△A₁B₁C₁的外接圓⊙O內切于正△ABC，若△ABC的面積是4

3

，則陰影部分的面積是
（　　）

• A、2
• B、

  3

• C、2

  3

• D、

  3

  +π

Answer 1

分析：解法（1）連接AO延長交BC于D，連接OB、OC₁，過O作OE⊥A₁C₁于E，設正△ABC的邊長是a，則BD=CD=

1

2

a，根據等邊三角形的性質求出OD、AD，根據三角形的面積公式和勾股定理求出BC、AD、OD，根據勾股定理和含30°角的直角三角形的性質求出DE、EC₁，進一步求出A₁C₁及邊上的高，根據三角形的面積公式求出△A₁B₁C₁的面積，根據式子

1

3

×（△ABC的面積-△A₁B₁C₁的面積），代入求出即可．
解法（2）連接MN，根據旋轉得到陰影部分的面積等于△BMN的面積，求出△BMN的面積即可．

解答：解：解法（1）
連接AO延長交BC于D，連接OB、OC₁，過O作OE⊥A₁C₁于E，
∵正三角形ABC，
∴AD⊥BC，BD=DC，
設正△ABC的邊長是a，則BD=CD=

1

2

a，
根據勾股定理得：AD=

3

2

a，
∵△ABC的面積是4

3

，
∴

1

2

×a×

3

2

a=4

3

，
∴a=4，
∴BD=2，
∵O是正△ABC的內切圓的圓心，
∴∠OBC=

1

2

×60°=30°，
∴OD=

1

2

BO，
由勾股定理得：OD=

2 3

3

，
∴C₁0=

2 3

3

，
同法可求：OE=

1

2

OC₁=

3

3

，
C₁E=A₁E=1，
∴A₁C₁=2，
A₁C₁邊上的高是3×

3

3

=

3

，
∴△A₁B₁C₁的面積是

1

2

×2×

3

=

3

，
∴陰影部分的面積是

1

3

×（△ABC的面積-△A₁B₁C₁的面積）=

1

3

×（4

3

-

3

）=

3

，

解法（2）
連接MN，
由（1）可知：BN=BD=2，
同法可求BN上的高MH=

3

，
∴根據旋轉得出：陰影部分的面積=△BMN的面積=

1

2

BN×MH=

1

2

×2×

3

=

3

．
故選B．

點評：本題主要考查對三角形的內角和定理，等腰三角形的性質和判定，等邊三角形的性質，三角形的面積，三角形的內切圓與內心，三角形的外接圓與外心，含30度得直角三角形的性質，勾股定理，三角形的面積等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．