Question

如圖，已知△ABC∽△A₁B₁C₁，相似比為k（k＞1），且△ABC的三邊長分別為a、b、c（a＞b＞c），△A₁B₁C₁的三邊長分別為a₁、b₁、c₁．
（1）若c=a₁，求證：a=kc；
（2）若c=a₁，試給出符合條件的一對△ABC和△A₁B₁C₁，使得a、b、c和a₁、b₁、c₁都是正整數，并加以說明；
（3）若b=a₁，c=b₁，是否存在△ABC和△A₁B₁C₁使得k=2？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了兩個三角形的相似比為k，則對應邊a=ka₁，將所給的條件等量代換即可得到所求的結論；
（2）此題是開放題，可先選取△ABC的三邊長，然后以c的長作為a₁的值，再根據相似比得到△A₁B₁C₁的另外兩邊的長，只要符合兩個三角形的三邊及相似比都是整數即可；
（3）首先根據已知條件求出a、b與c的關系，然后根據三角形三邊關系定理來判斷題目所給出的情況是否成立．

解答：（1）證明：∵△ABC∽△A₁B₁C₁，且相似比為k（k＞1），
∴

a

a1

=k，a=ka₁；
又∵c=a₁，
∴a=kc；

（2）解：取a=8，b=6，c=4，同時取a₁=4，b₁=3，c₁=2；
此時

a

a1

=

b

b1

=

c

c1

=2，
∴△ABC∽△A₁B₁C₁且c=a₁；

（3）解：不存在這樣的△ABC和△A₁B₁C₁，理由如下：
若k=2，則a=2a₁，b=2b₁，c=2c₁；
又∵b=a₁，c=b₁，
∴a=2a₁=2b=4b₁=4c；
∴b=2c；
∴b+c=2c+c＜4c，4c=a，b+c＜a，而應該是b+c＞a；
故不存在這樣的△ABC和△A₁B₁C₁，使得k=2．

點評：此題主要考查的是相似三角形的性質及三角形三邊關系定理的應用．