Question

如圖，已知邊長為2cm的正六邊形ABCDEF，點A₁，B₁，C₁，D₁，E₁，F₁分別為所在各邊的中點，求圖中陰影部分的總面積S．

Answer 1

分析：要求陰影部分的面積，根據正六邊形的性質發現6個陰影部分全等，只需求得一個陰影部分的面積．根據正六邊形的性質發現該三角形是邊長為1的120°的等腰三角形，再根據等腰三角形的三線合一性質以及解直角三角形的知識即可求解．

解答：解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形．
∴∠B=120°．
又∵點A₁，B₁分別為AB，BC邊的中點．
∴BA₁=BB₁=1cm，∠BA₁B₁=30°．
過點B作BM⊥A₁B₁，垂足為M，
∴BM=

1

2

BA₁，A₁B₁=2A₁M．
又∵BA₁=1cm，
∴BM=

1

2

cm，
由勾股定理得：A₁M=

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
A₁B₁=2A₁M=

3

cm．
∴S_△BA1B1=

1

2

×

3

×

1

2

=

3

4

（cm²）．
同理：S_△DC1D1=S_△FE1F1=

3

4

（cm²）
故陰影部分的總面積S=3×

3

4

=

3 3

4

（cm²）．

點評：此題主要是熟悉正六邊形的性質、等腰三角形的性質以及30°的直角三角形的性質．