Question

【題目】在平面直角坐標系中，將函數為常數)的圖象記為圖象與直線的交點坐標為．

（1）若點在圖象上，求的值；

（2）求的最小值；

（3）當直線的圖象與函數為常數)的圖像只有一個公共點時，求的取值范圍；

（4）若點在圖象上，且點的橫坐標為點關于軸的對稱點為點.當點不在坐標軸上時，以點為頂點構造矩形使點落在軸上.當圖象與矩形的邊有兩個公共點時，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y0的最小值為；（3）m的取值范圍是，m＞2或m≤0；（4）當m＞0時，若拋物線與矩形有2個交點，或．

【解析】

（1）把代入：即可得到答案；

（2）把代入：，得到：根據的取值范圍可得答案；

（3）由函數 (m為常數)的對稱軸為： 頂點坐標為 界點坐標，結合函數圖像分情況討論即可得到答案；

（4）分情況討論：先求解當m+1=2m，此時，①當0＜m＜1時，再根據界點在的上下方，可得的范圍，② 當m＞1時，若點A在x軸上，則，討論當1＜m＜時的交點情況，③ 當m＞時，點A在點B的上方，若有兩個交點，還需滿足界點在BC下方，結合函數圖像可得答案，最后綜合以上情況可得的范圍．

解：（1）把代入：

；

（2） (m為常數)，

，

當m＞0時，a=3＞0， y0有最小值，時，y0的最小值為，

當時，，因此，y0的最小值為．

（3）函數 (m為常數)的對稱軸為：

頂點坐標為

如圖：當過頂點時，

，

當m＞0時，

當時，界點坐標為

當界點在直線時，

（舍去），

此時，直線在界點的下方，

＜

＞，

＞，

＞，

＞，且＞，

＞，

此時，直線的圖象與函數為常數)的圖像只有一個公共點時，＞，

當＜時，界點坐標為

當界點在直線的上方時，

＜

＞，

＞，

＜，

＜且＜，

解得：＜，

此時，直線的圖象與函數為常數)的圖像只有一個公共點時，則＜，

綜上，m的取值范圍是， m＞2或m≤0．

（4）當m+1=2m，m=1，所以，

① 0＜m＜1時，此時，界點坐標為：

當頂點在邊AD上方，若有兩個交點，還需滿足界點在AD下方，

解得：

≤m＜1．

同時，也說明當0＜m＜時，界點在AD上方，只有一個交點，不滿足要求．

② 當m＞1時，

若點A在x軸上，

則．（舍去）

當1＜m＜時，函數圖像在矩形的右下方，只有一個交點，不滿足要求．

③ 當m＞時，點A在點B的上方，若有兩個交點，還需滿足界點在BC下方，

關于軸對稱，

利用圖像法得：

所以， ＜m≤．

綜上，當m＞0時，若拋物線與矩形有2個交點，則≤m＜1 或＜m≤．