Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)（）與雙曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），直線(xiàn)（）與雙曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)．當(dāng)這兩條直線(xiàn)互相垂直，且四邊形的周長(zhǎng)為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為_________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

首先根據(jù)題意求出點(diǎn)A坐標(biāo)為(，)，從而得出，然后分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)B在第二象限時(shí)求出點(diǎn)B坐標(biāo)為(，)，從而得出，由此可知，再利用平面直角坐標(biāo)系任意兩點(diǎn)之間的距離公式可知：，所以，據(jù)此求出，由此進(jìn)一步通過(guò)證明四邊形ABCD是菱形加以分析求解即可得出答案；②當(dāng)點(diǎn)B在第四象限時(shí)，方法與前者一樣，具體加以分析即可.

∵直線(xiàn)()與雙曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），

∴聯(lián)立二者解析式可得：，由此得出點(diǎn)A坐標(biāo)為(，)，

∴，

①當(dāng)點(diǎn)B在第二象限時(shí)，如圖所示：

∵直線(xiàn)（）與雙曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，

∴聯(lián)立二者解析式可得：，由此得出點(diǎn)B坐標(biāo)為(，)，

∴，

∵AC⊥BD，

∴，

根據(jù)平面直角坐標(biāo)系任意兩點(diǎn)之間的距離公式可知：

，

∴，

解得：，

∴，

根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知：OC=OA，OB=OD，

∵AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴，

∴，

解得：或2，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(，)或(，)，

②當(dāng)點(diǎn)B在第四象限時(shí)，如圖所示：

∵直線(xiàn)（）與雙曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，

∴聯(lián)立二者解析式可得：，由此得出點(diǎn)B坐標(biāo)為(，)，

∴，

∵AC⊥BD，

∴，

根據(jù)平面直角坐標(biāo)系任意兩點(diǎn)之間的距離公式可知：

，

∴，

解得：，

∴，

根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知：OC=OA，OB=OD，

∵AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴，

∴，

解得：或2，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(，)或(，)，

綜上所述，點(diǎn)A坐標(biāo)為：(，)或(，)，

故答案為：(，)或(，).