Question

15、已知△ABC是銳角三角形．
（1）求證：2sinA＞cosB+cosC；
（2）若點(diǎn)M在邊AC上，作△ABM和△CBM的外接圓，則當(dāng)M在什么位置時(shí)，兩外接圓的公共部分面積最小？

Answer 1

分析：（1）作出△ABC的高，根據(jù)正弦函數(shù)的增減性得到∠BAC＞∠BAD，∠BAC＞∠DAC，再根據(jù)互余關(guān)系得到sin∠BAD=cos∠B，sin∠CAD=cos∠B，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)垂線段最短作出AC邊上的高，再作出△ABM和△CBM的外接圓即可．

解答：解：（1）如圖：作AD⊥BC．
因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，
所以∠BAC、∠B、∠C為銳角，
又因?yàn)椤螧AD+∠CAD=∠BAC，
所以∠BAC＞∠BAD，∠BAC＞∠DAC，
所以sin∠BAC＞sin∠BAD①，
sin∠BAC＞sin∠CAD②，
①+②得，2sin∠BAC＞sin∠BAD+sin∠CAD，
又因?yàn)閟in∠BAD=cos∠B，sin∠CAD=cos∠B，
所以2sin∠BAC＞cos∠B+cos∠C．

（2）如圖，當(dāng)BM⊥AC時(shí)，BM最短．
則弓形BmM和弓形BnM所對(duì)弦BM最短，
則兩弓形面積最小，兩外接圓的公共部分面積最小．

點(diǎn)評(píng)：（1）此題考查了三角函數(shù)的增減性和三角形的互余關(guān)系，作出圖形，判斷出各角的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
（2）解答此題的關(guān)鍵是作出AC邊上的高，找到△ABM和△CBM的外接圓的公共部分．