Question

（2003•黃浦區(qū)一模）已知△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且AC=a，點P在△ABC的三條邊上運動，
（1）求PA+PB+PC的最小值，并說明理由；
（2）比較線段PA+PC與線段PB的大小，并說明理由；
（3）當(dāng)點P在邊AB上（除去A、B兩端點）上運動，若要PA、PB、PC三條線段所構(gòu)成銳角三角形，PA的取值范圍是多少，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于本題P點的位置不確定，因此要分P與A重合，P在AC上，P與C重合，P在BC上，P在AB上五種情況進行討論．主要根據(jù)三角形三邊的關(guān)系進行求解；
（2）本題同（1）一樣，也要分類進行討論，也是根據(jù)三角形三邊的關(guān)系進行求解．要注意的是P在AB上運動時，由于無法直接用三角形三邊關(guān)系來求解，因此要通過構(gòu)建特殊值來進行判斷，以CA、CB為邊C為頂點在兩邊各取一個15°角，設(shè)與AB的交點為P和D，那么不難得出△ACP≌△BCD，因此△PCD是個等邊三角形．
當(dāng)P在AP上運動時，PA+PC＜PA+AP=PA+BD=PB，綜合可得PA+PC＜PB；
當(dāng)P與P重合時，PC+PA=P0C+P0A=PD+BD=PB，即PA+PC=PB；
當(dāng)P在PB上運動時，PA+PC=P0P+AP+PC=P0P+PC+BD，由于PP+PC＞PC=PD，因此PA+PC=PP+PC+BD＞PD+BD=PB；
（3）本題要考慮兩種情況：
要使PA，PB，PC構(gòu)成銳角三角形，首先要滿足三邊能組成一個三角形；
要求出PA，PB，PC構(gòu)成直角三角形時PA的值；
根據(jù)上面兩種情況求出的PA即可得出PA、PB、PC三條線段所構(gòu)成銳角三角形時PA的取值范圍．
解答：解：（1）答：PA+PB+PC的最小值為2a．
理由如下：
當(dāng)點P與A重合時，PA+PB+PC=AC+AB
而AB＞AC，故PA+PB+PC＞2AC=2a
當(dāng)點P在線段AC上運動時（不含A、C），PA+PB+PC=AC+PB，而PB＞AC，故PA+PB+PC＞2a
當(dāng)P與C重合時，PA+PB+PC=AC+CB=2a，可見P在AC運動時PA+PB+PC的最小值是2a
同理，當(dāng)點P在線段CB上運動時，PA+PB+PC的最小值為2a
當(dāng)點P在線段AB上運動時，PA+PB+PC=AB+CP，而當(dāng)CP⊥AB時，CP為最小值，其值為
∴PA+PB+PC=AB+CP≥=
綜上，PA+PB+PC的最小值為2a；

（2）答：當(dāng)P在AC上運動時（P與C點不重合），PA+PC＜PB
當(dāng)P與C點重合時，PA+PC=PB
當(dāng)P在BC上運動時（P與C點不重合），PA+PC＞PB
當(dāng)P在AB上運動時，設(shè)P在線段AB上，且∠ACP=15°
當(dāng)P在AP（不與P重合時）時，PA+PC＜PB，當(dāng)P在PB（不與P重合時）時，PA+PC＞PB
當(dāng)P與P重合時，PA+PC=PB，理由如下
當(dāng)P在AC上運動時（P與C點不重合），PA+PC=AC=BC＜PB
當(dāng)P與C點重合時，PA+PC=AC=BC=PB
當(dāng)P在BC上運動時（P與C點不重合），PA＞AC=BC，而PB＜BC
∴PA+PC＞PB
如圖1，在線段AB上取DB=AP，連接CD，易證△APC≌△BDC
則CP=CD，∠ACP=∠BCD=15°
∴∠PCD=60°∴△PCD是正三角形，即PD=PC，因此當(dāng)P與P重合時，AP+PC=PB
當(dāng)P在AP（不與P重合時）時，由于PC-PC＜PP=AP-AP
∴PC+PA＜PC+AP=PD+DB=PB＜PB；

如圖2，當(dāng)P在BP（不與P重合時）時，由于PP+PC＞PC=PD
則PP+PC+AP＞PC+AP=PD+DB=PB＞PB
∴PA+PC＞PB；

（3）a＜PA＜a或a＜PA＜a．
理由如下：令P₁為AB的中點，不妨設(shè)P在AP₁上運動，要PA、PB、PC三條線段能構(gòu)成三角形，須要PC-PA＜PB＜PA+PC
易見PB＞PC＞PA，則PC-PA＜PB
由（2）知，要使PA+PC＞PB，P應(yīng)在PB，即∠PCA＞15°
因為AP=AP₁-P₁P=a-a•cot60°=a-a=a
即PA＞
又知當(dāng)P從在P_oB上從P_o向P₁運動時，PA，PB，PC構(gòu)成的三角形從鈍角變?yōu)橹苯牵�再變�(yōu)殇J角
若設(shè)PA=x，則PB=a-x，PC²=（a）²+（a-x）²=a²-ax+x²
若PA、PB、PC構(gòu)成的三角形是直角三角形，則有PB²=PA²+PC²，即
（a-x）²=a²-ax+x²，x²+ax-a²=0，因x＞0，所以x=a
所以a＜PA＜a
同理可說明，當(dāng)P在BP₁上運動，要PA、PB、PC三條線段若能構(gòu)成鈍角三角形
須要a＜PA＜a
綜上可得：a＜PA＜a或a＜PA＜a．
點評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形三邊的關(guān)系、全等三角形的判定等知識點．綜合性強，難度大．