Question

已知△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且AC=a，點P在△ABC的三條邊上運動，
（1）求PA+PB+PC的最小值，并說明理由；
（2）比較線段PA+PC與線段PB的大小，并說明理由；
（3）當點P在邊AB上（除去A、B兩端點）上運動，若要PA、PB、PC三條線段所構成銳角三角形，PA的取值范圍是多少，并說明理由．

Answer 1

解：（1）答：PA+PB+PC的最小值為2a．
理由如下：
當點P與A重合時，PA+PB+PC=AC+AB
而AB＞AC，故PA+PB+PC＞2AC=2a
當點P在線段AC上運動時（不含A、C），PA+PB+PC=AC+PB，而PB＞AC，故PA+PB+PC＞2a
當P與C重合時，PA+PB+PC=AC+CB=2a，可見P在AC運動時PA+PB+PC的最小值是2a
同理，當點P在線段CB上運動時，PA+PB+PC的最小值為2a
當點P在線段AB上運動時，PA+PB+PC=AB+CP，而當CP⊥AB時，CP為最小值，其值為
∴PA+PB+PC=AB+CP≥=
綜上，PA+PB+PC的最小值為2a；

（2）答：當P在AC上運動時（P與C點不重合），PA+PC＜PB
當P與C點重合時，PA+PC=PB
當P在BC上運動時（P與C點不重合），PA+PC＞PB
當P在AB上運動時，設P₀在線段AB上，且∠ACP₀=15°
當P在AP₀（不與P₀重合時）時，PA+PC＜PB，當P在P₀B（不與P₀重合時）時，PA+PC＞PB
當P與P₀重合時，PA+PC=PB，理由如下
當P在AC上運動時（P與C點不重合），PA+PC=AC=BC＜PB
當P與C點重合時，PA+PC=AC=BC=PB
當P在BC上運動時（P與C點不重合），PA＞AC=BC，而PB＜BC
∴PA+PC＞PB
如圖1，在線段AB上取DB=AP₀，連接CD，易證△AP₀C≌△BDC
則CP₀=CD，∠ACP₀=∠BCD=15°
∴∠P₀CD=60°∴△P₀CD是正三角形，即P₀D=P₀C，因此當P與P₀重合時，AP+PC=PB
當P在AP₀（不與P₀重合時）時，由于PC-P₀C＜PP₀=AP₀-AP
∴PC+PA＜P₀C+AP₀=P₀D+DB=P₀B＜PB；

如圖2，當P在BP₀（不與P₀重合時）時，由于PP₀+PC＞P₀C=P₀D
則PP₀+PC+AP₀＞P₀C+AP₀=P₀D+DB=P₀B＞PB
∴PA+PC＞PB；

（3）a＜PA＜a或a＜PA＜a．
理由如下：令P₁為AB的中點，不妨設P在AP₁上運動，要PA、PB、PC三條線段能構成三角形，須要PC-PA＜PB＜PA+PC
易見PB＞PC＞PA，則PC-PA＜PB
由（2）知，要使PA+PC＞PB，P應在P₀B，即∠PCA＞15°
因為AP₀=AP₁-P₁P₀=a-a•cot60°=a-a=a
即PA＞
又知當P從在P_oB上從P_o向P₁運動時，PA，PB，PC構成的三角形從鈍角變為直角，再變為銳角
若設PA=x，則PB=a-x，PC²=（a）²+（a-x）²=a²-ax+x²
若PA、PB、PC構成的三角形是直角三角形，則有PB²=PA²+PC²，即
（a-x）²=a²-ax+x²，x²+ax-a²=0，因x＞0，所以x=a
所以a＜PA＜a
同理可說明，當P在BP₁上運動，要PA、PB、PC三條線段若能構成鈍角三角形
須要a＜PA＜a
綜上可得：a＜PA＜a或a＜PA＜a．
分析：（1）由于本題P點的位置不確定，因此要分P與A重合，P在AC上，P與C重合，P在BC上，P在AB上五種情況進行討論．主要根據三角形三邊的關系進行求解；
（2）本題同（1）一樣，也要分類進行討論，也是根據三角形三邊的關系進行求解．要注意的是P在AB上運動時，由于無法直接用三角形三邊關系來求解，因此要通過構建特殊值來進行判斷，以CA、CB為邊C為頂點在兩邊各取一個15°角，設與AB的交點為P₀和D，那么不難得出△ACP₀≌△BCD，因此△P₀CD是個等邊三角形．
當P在AP₀上運動時，PA+PC＜PA+AP₀=PA+BD=PB，綜合可得PA+PC＜PB；
當P與P₀重合時，PC+PA=P0C+P0A=P₀D+BD=PB，即PA+PC=PB；
當P在P₀B上運動時，PA+PC=P0P+AP₀+PC=P0P+PC+BD，由于P₀P+PC＞P₀C=P₀D，因此PA+PC=P₀P+PC+BD＞P₀D+BD=PB；
（3）本題要考慮兩種情況：
要使PA，PB，PC構成銳角三角形，首先要滿足三邊能組成一個三角形；
要求出PA，PB，PC構成直角三角形時PA的值；
根據上面兩種情況求出的PA即可得出PA、PB、PC三條線段所構成銳角三角形時PA的取值范圍．
點評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質、三角形三邊的關系、全等三角形的判定等知識點．綜合性強，難度大．