Question

（2012•荊州）如圖所示為圓柱形大型儲油罐固定在U型槽上的橫截面圖．已知圖中ABCD為等腰梯形（AB∥DC），支點A與B相距8m，罐底最低點到地面CD距離為1m．設油罐橫截面圓心為O，半徑為5m，∠D=56°，求：U型槽的橫截面（陰影部分）的面積．（參考數據：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，結果保留整數）

Answer 1

分析：連接AO、BO．過點A作AE⊥DC于點E，過點O作ON⊥DC于點N，ON交⊙O于點M，交AB于點F，則OF⊥AB，先根據垂徑定理求出AF的值，再在Rt△AOF中利用銳角三角函數的定義求出∠AOB的度數，由勾股定理求出OF的長，根據四邊形ABCD是等腰梯形求出AE的長，再由S_陰=S_梯形ABCD-（S_扇OAB-S_△OAB）即可得出結論．

解答：解：如圖，連接AO、BO．過點A作AE⊥DC于點E，過點O作ON⊥DC于點N，ON交⊙O于點M，交AB于點F．則OF⊥AB．
∵OA=OB=5m，AB=8m，OM是半徑，OM⊥AB，
∴AF=BF=

1

2

AB=4（m），∠AOB=2∠AOF，
在Rt△AOF中，sin∠AOF=

AF

AO

=0.8=sin53°，
∴∠AOF=53°，則∠AOB=106°，
∵OF=

OA2-AF2

=3（m），由題意得：MN=1m，
∴FN=OM-OF+MN=3（m），
∵四邊形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，
∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE．
在Rt△ADE中，tan56°=

AE

DE

=

3

2

，
∴DE=2m，DC=12m．
∴S_陰=S_梯形ABCD-（S_扇OAB-S_△OAB）=

1

2

（8+12）×3-（

106

360

π×5²-

1

2

×8×3）≈20（m²）．
答：U型槽的橫截面積約為20m²．

點評：本題考查的是垂徑定理的應用及勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形及等腰梯形，再利用勾股定理進行求解是解答此題的關鍵．