Question

（2012•荊州）如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點，動點P、Q同時從點B出發，點P沿折線BE-ED-DC運動到點C時停止，點Q沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/秒．設P、Q同發t秒時，△BPQ的面積為ycm²．已知y與t的函數關系圖象如圖（2）（曲線OM為拋物線的一部分），則下列結論：①AD=BE=5；②cos∠ABE=

3

5

；③當0＜t≤5時，y=

2

5

t²；④當t=

29

4

秒時，△ABE∽△QBP；其中正確的結論是

①③④

（填序號）．

Answer 1

分析：根據圖（2）可以判斷三角形的面積變化分為三段，可以判斷出當點P到達點E時點Q到達點C，從而得到BC、BE的長度，再根據M、N是從5秒到7秒，可得ED的長度，然后表示出AE的長度，根據勾股定理求出AB的長度，然后針對各小題分析解答即可．

解答：解：根據圖（2）可得，當點P到達點E時點Q到達點C，
∵點P、Q的運動的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5，
∴AD=BE=5，故①小題正確；
又∵從M到N的變化是2，
∴ED=2，
∴AE=AD-ED=5-2=3，
在Rt△ABE中，AB=

BE2-AE2

=

52-32

=4，
∴cos∠ABE=

AB

BE

=

4

5

，故②小題錯誤；
過點P作PF⊥BC于點F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB=

AB

BE

=

4

5

，
∴PF=PBsin∠PBF=

4

5

t，
∴當0＜t≤5時，y=

1

2

BQ•PF=

1

2

t•

4

5

t=

2

5

t²，故③小題正確；
當t=

29

4

秒時，點P在CD上，此時，PD=

29

4

-BE-ED=

29

4

-5-2=

1

4

，
PQ=CD-PD=4-

1

4

=

15

4

，
∵

AB

AE

=

4

3

，

BQ

PQ

=

5

15 4

=

4

3

，
∴

AB

AE

=

BQ

PQ

，
又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故④小題正確．
綜上所述，正確的有①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題考查了動點問題的函數圖象，根據圖（2）判斷出點P到達點E時點Q到達點C是解題的關鍵，也是本題的突破口．