Question

使得5×2^m+1是完全平方數的整數m的個數為

1

．

Answer 1

分析：由5×2^m+1是完全平方數，可設5×2^m+1=n² （其中n為正整數），可得5×2^m=n²-1=（n+1）（n-1），即可得n為奇數，然后設n=2k-1（其中k是正整數），即可得方程組

k=5×2m-2 k-1=1

或

k=5 k-1=2m-2

或

k=2m-2 k-1=5

，解方程組即可求得答案．

解答：解：設5×2^m+1=n² （其中n為正整數），
則5×2^m=n²-1=（n+1）（n-1），
∵5×2^m是偶數，
∴n為奇數，
設n=2k-1（其中k是正整數），
則5×2^m=4k（k-1），
即5×2^m-2=k（k-1）．
顯然k＞1，
∵k和k-1互質，
∴

k=5×2m-2 k-1=1

或

k=5 k-1=2m-2

或

k=2m-2 k-1=5

，
解得：k=5，m=4．
因此，滿足要求的整數m只有1個．
故答案為：1．

點評：此題考查了完全平方數的知識．此題難度較大，解題的關鍵是將原式變形，可得5×2^m=n²-1=（n+1）（n-1），然后得到n為奇數，則可設n=2k-1（其中k是正整數），從而得到方程組．