Question

使得5×2^m+1是完全平方數的整數m的個數為______．

Answer 1

設5×2^m+1=n² （其中n為正整數），
則5×2^m=n²-1=（n+1）（n-1），
∵5×2^m是偶數，
∴n為奇數，
設n=2k-1（其中k是正整數），
則5×2^m=4k（k-1），
即5×2^m-2=k（k-1）．
顯然k＞1，
∵k和k-1互質，
∴

k=5×2m-2 k-1=1

或

k=5 k-1=2m-2

或

k=2m-2 k-1=5

，
解得：k=5，m=4．
因此，滿足要求的整數m只有1個．
故答案為：1．