Question

如圖，E是正方形ABCD外的一點，連接AE、BE、DE，且∠EBA=∠ADE，點F在DE上，連接AF，BE=DF．
（1）求證：△ADF≌△ABE；
（2）小明還發現線段DE、BE、AE之間滿足等量關系：DE-BE=AE．請你說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）中易證AD=AB，又EB=DF，∠ADF=∠ABE，利用有兩邊和其夾角對應相等的兩個三角形從全等，即可證明；
（2）中易證△AEF是等腰直角三角形，所以EF=AE，所以只需證明DE-BE=EF即可，由BE=DF不難證明此問題．
解答：證明：（1）∵四邊形正ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵在△ADF和△ABE中，
，
∴△ADF≌△ABE；

（2）理由如下：
由（1）有△ADF≌△ABE，
∴AF=AE，∠3=∠4，
在正方形ABCD中，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠3=90°，
∴∠BAF+∠4=90°，
∴∠EAF=90°，
∴△EAF是等腰直角三角形，
∴EF²=AE²+AF²，
∴EF²=2AE²，
∴EF=AE，
即DE-DF=AE，
∴DE-BE=AE．
點評：本題考查了正方形的性質、全等三角形的性質和判定、等腰直角三角形的判定和性質以及勾股定理的運用，題目綜合性很強，對于提高學生的綜合解題能力來說是一道不錯的題目．