Question

【題目】如圖放置的兩個正方形，大正方形ABCD邊長為a，小正方形CEFG邊長為b（a＞b），M在BC邊上，且BM=b，連接AM，MF，MF交CG于點P，將△ABM繞點A旋轉至△ADN，將△MEF繞點F旋轉至△NGF，給出以下五個結論：①∠MAD=∠AND；②△ABM≌△NGF；③CP=；④；其中正確的個數是( )

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根據正方形的性質得到∠BAD=∠ADC=∠B=90°，根據旋轉的性質得到∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，根據余角的性質得到∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，等量代換得到∠DAM=∠AND，故①正確；

②根據正方形的性質得到PC∥EF，根據相似三角形的性質得到CP=b-；故③正確；

③根據旋轉的性質得到GN=ME，等量代換得到AB=ME=NG，根據全等三角形的判定定理得到△ABM≌△NGF；故②正確；

④由旋轉的性質得到AM=AN，NF=MF，根據全等三角形的性質得到AM=NF，推出四邊形AMFN是矩形，根據余角的想知道的∠NAM=90°，推出四邊形AMFN是正方形，于是得到S四邊形AMFN=AM2=a2+b2；故④正確.

①∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，

∴∠BAM+∠DAM=90°，

∵將△ABM繞點A旋轉至△ADN，

∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，

∴∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，

∴∠DAM=∠AND，故①正確；

②∵四邊形CEFG是正方形，

∴PC∥EF，

∴△MPC∽△EMF，

∴，

∵大正方形ABCD邊長為a，小正方形CEFG邊長為b（a＞b），BM=b，

∴EF=b，CM=a-b，ME=（a-b）+b=a，

∴，

∴CP=b-；故③正確；

③∵將△MEF繞點F旋轉至△NGF，

∴GN=ME，

∵AB=a，ME=a，

∴AB=ME=NG，

在△ABM與△NGF中，

，

∴△ABM≌△NGF；故②正確；

④∵將△ABM繞點A旋轉至△ADN，

∴AM=AN，

∵將△MEF繞點F旋轉至△NGF，

∴NF=MF，

∵△ABM≌△NGF，

∴AM=NF，

∴四邊形AMFN是矩形，

∵∠BAM=∠NAD，

∴∠BAM+DAM=∠NAD+∠DAN=90°，

∴∠NAM=90°，

∴四邊形AMFN是正方形，

∵在Rt△ABM中，a2+b2=AM2，

∴S四邊形AMFN=AM2=a2+b2；故④正確．

故選D．