Question

如圖，A是半徑為12cm的⊙O上的定點，動點P從A出發，以2πcm/s的速度沿圓周逆時針運動，當點P回到A地立即停止運動．
（1）如果∠POA=90°，求點P運動的時間；
（2）如果點B是OA延長線上的一點，AB=OA，那么當點P運動的時間為2s時，判斷直線BP與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當∠POA=90°時，點P運動的路程為⊙O周長的或，所以分兩種情況進行分析；
（2）直線BP與⊙O的位置關系是相切，根據已知可證得OP⊥BP，即直線BP與⊙O相切．
解答：解：（1）當∠POA=90°時，點P運動的路程為⊙O周長的或，
設點P運動的時間為ts；
當點P運動的路程為⊙O周長的時，2π•t=•2π•12，
解得t=3；
當點P運動的路程為⊙O周長的時，2π•t=•2π•12，
解得t=9；
∴當∠POA=90°時，點P運動的時間為3s或9s．

（2）如圖，當點P運動的時間為2s時，直線BP與⊙O相切
理由如下：
當點P運動的時間為2s時，點P運動的路程為4πcm，
連接OP，PA；
∵半徑AO=12cm，
∴⊙O的周長為24πcm，
∴的長為⊙O周長的，
∴∠POA=60°；
∵OP=OA，
∴△OAP是等邊三角形，
∴OP=OA=AP，∠OAP=60°；
∵AB=OA，
∴AP=AB，
∵∠OAP=∠APB+∠B，
∴∠APB=∠B=30°，
∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°，
∴OP⊥BP，
∴直線BP與⊙O相切．
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．