Question

21、如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F兩點，垂足是點O．
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）問：四邊形AFCE是什么特殊的四邊形？（直接寫出結論，不需要證明）．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形ABCD的對邊相互平行知，AD∥BC；然后由兩直線平行，內錯角相等，得∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO；最后根據全等三角形的判定定理ASA來證明△AOE≌△COF；
（2）菱形的對角線互相垂直平分．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC（平行四邊形的對邊相互平行）．
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO（兩直線平行，內錯角相等）；
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC．
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，OA=OC．
∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）四邊形AFCE是菱形．

點評：本題主要考查了平行四邊形的性質、菱形的判定、全等三角形的判定與性質．菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分．