Question

9．按要求完成下列題目．
（1）求：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$的值．
對于這個問題，可能有的同學接觸過，一般方法是考慮其中的一般項，注意到上面和式的每一項可以寫成$\frac{1}{n（n+1）}$的形式，而$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，這樣就把$\frac{1}{n（n+1）}$一項（分）裂成了兩項．
試著把上面和式的每一項都裂成兩項，注意觀察其中的規(guī)律，求出上面的和，并直接寫出$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$的值．
（2）若$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{A}{n（n+1）}$+$\frac{B}{（n+1）（n+2）}$
①求：A、B的值：
②求：$\frac{1}{1×2×3}$+$\frac{1}{2×3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據題目的敘述的方法即可求解；
（2）①把等號右邊的式子通分相加，然后根據對應項的系數相等即可求解；
②根據$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$把所求的每個分式化成兩個分式的差的形式，然后求解．

解答 解：（1）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$
=1-$\frac{1}{2017}$
=$\frac{2016}{2017}$；
（2）①∵$\frac{A}{n（n+1）}$+$\frac{B}{（n+1）（n+2）}$
=$\frac{（A+B）n+2A}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{A=\frac{1}{2}}\\{A+B=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{A=\frac{1}{2}}\\{B=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴A和B的值分別是$\frac{1}{2}$和-$\frac{1}{2}$；
②∵$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
∴原式=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2×3}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$
=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2（n+1）（n+2）}$
=$\frac{n（n+3）}{4（n+1）（n+2）}$．

點評 本題考查了分式的化簡求值，正確理解$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$是關鍵．