Question

如圖，正比例函數y=

1

2

x的圖象與反比例函數y=

k

x

（k≠0）在第一象限的圖象交于A點，過A點作x軸的垂線，垂足為M，已知△AOM的面積為1，點B（-1，t）為反比例函數在第三象限圖象上的點．
（1）試求出k及點B的坐標；
（2）在x軸上是否存在點P，使AB=AP，請直接寫出滿足條件的點P的坐標．
（3）在y軸上找一點P，使|PA-PB|的值最大，求出P點坐標．

Answer 1

分析：（1）根據反比例函數的比例系數的幾何意義得到

1

2

k=1，解得k=2，則反比例函數的解析式為y=

2

x

，然后把B（-1，t）代入y=

2

x

即可確定B點坐標；
（2）先解方程組

y= 1 2 x y= 2 x

可確定A點坐標為（2，1），設P點坐標為（a，0），利用兩點間的距離公式得到

(2-a)2+(1-0)2

=3

2

，然后解方程求出a，確定P點坐標；
（3）作B點關于y軸的對稱點C，如圖，則C點坐標為（1，-2），PB=PC，根據三三角形三邊的關系得到|PA-PB|=|PA-PC|≤AC（當點P、C、A共線時，取等號），所以，PA-PB|的值為AC，然后利用待定系數法求出直線AC的解析式，再確定該直線與y軸的交點坐標，即P點坐標．

解答：解：（1）∵△AOM的面積為1，
∴

1

2

k=1，解得k=2，
∴反比例函數的解析式為y=

2

x

，
把B（-1，t）代入y=

2

x

得-t=2，解得t=-2，
∴B點坐標為（-1，-2）；

（2）存在．
解方程組

y= 1 2 x y= 2 x

得

x=2 y=1

或

x=-2 y=-1

，則A點坐標為（2，1），
∴AB=

(2+1)2+(1+2)2

=3

2

，
設P點坐標為（a，0），
∴AP=

(2-a)2+(1-0)2

，
∵AB=AP，
∴

(2-a)2+(1-0)2

=3

2

，解得a₁=2+

17

，a₂=2-

17

，
∴滿足條件的點P的坐標為（2+

17

，0），（2-

17

，0）；

（3）作B點關于y軸的對稱點C，如圖，則C點坐標為（1，-2），
∴PB=PC，
∴|PA-PB|=|PA-PC|≤AC，
∴當點P、C、A共線時，|PA-PB|的值最大，
設直線AC的解析式為y=mx+n，
把A（2，1）、C（1，-2）代入得

2m+n=1 m+n=-2

，解得

m=3 n=-5

，
∴直線AC的解析式為y=3x-5，
把x=0代入y=3x-5得y=-5，
∴P點坐標為（0，-5）．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、比例系數的幾何意義和待定系數法求函數解析式；熟練運用兩點間的距離公式計算線段的長．