Question

已知正整數a、b之差為120，它們的最小公倍數是其最大公約數的105倍，那么，a、b中較大的數是

 

．

Answer 1

分析：根據已知條件，可設（a，b）=d，則a=md，b=nd，于是a、b的最小公倍數為mnd，將條件代入數值，組成方程組，然后用列舉法寫出所有符合條件的數，再找出正確答案即可解答．

解答：解：設（a，b）=d，且a=md，b=nd，其中m＞n，且m與n互質，
于是a、b的最小公倍數為mnd，
依題意有

md-nd=120 mnd d =105

即

(m-n)d=23×3×5  ① mn=3×5×7②

，
則m＞n據②可得

m=105 n=1

或

m=35 n=3

或

m=21 n=5

或

m=15 n=7

根據①只取

m=15 n=7

可求得d=15，故兩個數中較大的數是md=225．

點評：本題主要考查最大公約數與最小公倍數的關系，列舉法能夠寫出所有符合條件的數，再一一排除即可．