Question

4．在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在射線CB上，且CE=DE．

（1）特殊情況，探索結論
如圖1，當點E是AB中點時，確定線段AE與BD的大小關系，請你直接寫出結論：AE=BD（填“＞”、“＜”或“=”）．
（2）特例啟發，問題探究
如圖2，當點E是線段AB上除端點和中點外的任一點時，此時，（1）中的結論是否發生變化？寫出你的猜想并加以證明．
（3）拓展延伸
如圖3，當點E在BA的延長線上時，點D在BC邊上，且CE=DE，（1）中的結論是否發生變化？寫出你的猜想并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質得到∠BCE=30°，AE=BE，根據等腰三角形的性質得到∠D=∠ECD=30°，根據三角形的外角的性質得到∠DEB=30°即可得到結論；
（2）如圖2，過E作EF∥BC交AC于F，根據等邊三角形的性質得到∠ABC=∠ACB=60°，根據平行線的性質得到∠AEF=∠AFE=60°推出△AEF是等邊三角形，根據全等三角形的性質得到BD=FE，等量代換得到結論；
（3）過E作EF∥BC交CA的延長線于F，于是得到∠1=∠F，根據等邊三角形的性質得到∠EAF=∠2=∠F=60°，根據全等三角形的性質得到BD=EF，等量代換得到結論．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，點E是AB中點，
∴∠BCE=30°，AE=BE，
∵DE=CE，
∴∠D=∠ECD=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠DEB=30°，
∴∠D=∠DEB，
∴BD=BE，
∴AE=BD；

（2）（1）中的結論不發生變化，
理由：如圖2，過E作EF∥BC交AC于F，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，∠3=120°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=EF，∠4=120°，
∴∠3=∠4，
∵DE=CE，
∴∠D=∠1，
∴∠D=∠2，
在△BDE與△FEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠2}\\{∠3=∠4}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FEC，
∴BD=FE，
∴AE=BD；

（3）不發生變化，
理由：過E作EF∥BC交CA的延長線于F，
∴∠1=∠F，∠BCE+∠CEF=180°，
∵∠B=∠1=∠BAC=60°，
∴∠EAF=∠2=∠F=60°，
∴AE=EF，∠F=∠B，
∵DE=CE，
∴∠3=∠BCE，
∵∠3+∠4=180°，
∴∠4=∠CEF，
在△BDE與△FEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠4=∠CEF}\\{∠B=∠F}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FEC，
∴BD=EF，
∴AE=BD．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，平行線的性質，正確的作出輔助線構造等邊三角形是解題的關鍵．