Question

（2012•吳中區(qū)二模）如圖，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)E是OA上任意一點(diǎn)，過E作弦CD⊥AB，點(diǎn)F是

BC

上一點(diǎn)，連接AF交CE于H，連接AC、CF、BD、OD．
（1）求證：△ACH∽△AFC；
（2）猜想：AH•AF與AE•AB的數(shù)量關(guān)系，并說明你的猜想；
（3）當(dāng)AE=

1

8

AB時(shí)，S_△AEC：S_△BOD=1：4．（直接在空格處填上正確答案，不需要說明理由．）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)垂徑定理得弧AC=弧AD，再根據(jù)圓周角定理得到∠F=∠ACD，又∠CAH=∠FAC，根據(jù)相似三角形的判定即可得到△ACH∽△AFC；
（2）連BF，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得∠AFB=90°，則∠AFB=∠AEH=90°，而∠EAH=∠FAB，根據(jù)相似三角形的判定得到Rt△AEH∽Rt△AFB，則有AE：AF=AH：AB，變形得到AH•AF=AE•AB；
（3）根據(jù)三角形面積公式S_△ACE=

1

2

AE•CE，S_△BOD=

1

2

DE•OB，若S_△AEC：S_△BOD=1：4，則

1

2

DE•OB=4×

1

2

AE•CE，即DE•OB=4CE•AE，由直徑AB⊥CD，根據(jù)垂徑定理得CE=DE，則有OB=4AE，所以AB=8AE，即AE=

1

8

AB．

解答：（1）證明：∵直徑AB⊥CD，
∴弧AC=弧AD，
∴∠F=∠ACD，
而∠CAH=∠FAC，
∴△ACH∽△AFC；

（2）解：AH•AF=AE•AB．理由如下：
連BF，如圖．
∵AB為直徑，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFB=∠AEH=90°，
而∠EAH=∠FAB，
∴Rt△AEH∽Rt△AFB，
∴AE：AF=AH：AB，
即AH•AF=AE•AB；

（3）解：當(dāng)AE=

1

8

AB時(shí)，S_△AEC：S_△BOD=1：4．理由如下：
∵S_△ACE=

1

2

AE•CE，S_△BOD=

1

2

DE•OB，S_△AEC：S_△BOD=1：4，
∴

1

2

DE•OB=4×

1

2

AE•CE，即DE•OB=4CE•AE，
∵直徑AB⊥CD，
∴CE=DE，
∴OB=4AE，
∴AB=8AE，即AE=

1

8

AB．
故答案為

1

8

．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；直徑所對的圓周角為直角；有兩組角對應(yīng)相等的三角形相似；運(yùn)用三角形相似的知識證明等積式是常用的方法．