Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+mx+2與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，點A的坐標為（1，0）

（1）求拋物線的解析式

（2）在拋物線的對稱軸l上找一點P，使PA+PC的值最小，求出點P的坐標

（3）在第二象限內的拋物線上，是否存在點M，使△MBC的面積是△ABC面積的？若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；（2）P（﹣，）；（3）存在，M（﹣1，2）．

【解析】

（1）把點A坐標代入拋物線的解析式求出m即可解決問題；

（2）如圖1中，由A、B關于對稱軸對稱，連接BC交對稱軸于P，連接PA，此時PA＋PC的值最�。�求出直線BC的解析式，即可解決問題；

（3）存在．如圖，連接OM．設M（m，m2m＋2）．由S△MBC＝S△ABC，可得S△OBM＋S△OCMS△ABC＝S△ABC，由此列出方程即可解決問題；

解：（1）∵y＝﹣x2+mx+2經過點A（1，0），

∴0＝﹣1+m+2，

∴m＝﹣1，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2．

（2）如圖，由A、B關于對稱軸對稱，連接BC交對稱軸于P，連接PA，此時PA+PC的值最小．

∵B（﹣2，0），C（0，2），設直線BC的解析式為y＝kx+b，則有，

解得，

∴直線BC的解析式為y＝x+2．

∵拋物線的對稱軸x＝﹣，

∴P（﹣，）．

（3）存在．如圖，連接OM．設M（m，﹣m2﹣m+2）．

∵S△MBC＝S△ABC，

∴S△OBM+S△OCM﹣S△ABC＝S△ABC，

∴×2×（﹣m2﹣m+2）+×2×（﹣m）＝××2×2，

解得m＝﹣1，

∴M（﹣1，2）．