Question

（2006•梧州）如圖（1），四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，點C是的中點，過點C的切線與AD的延長線交于點E．
（1）求證：AB•DE=CD•BC；
（2）如果四邊形ABCD仍是⊙O的內接四邊形，點C在劣弧上運動，點E在AD的延長線上運動，切線CE變為割線EFC，請問要使（1）的結論成立還需要具備什么條件？請你在圖（2）上畫出示意圖，標明有關字母，不要求進行證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過構建相似三角形來求證，連接AC證三角形ABC和CDE相似，CE是圓的切線，根據弦切角定理可得出∠DCE=∠CAD，根據C是弧BD的中點，得出∠BAC=∠DAC，那么∠DCE=∠BAC，根據ABCD內接于圓O，那么外角∠CDE=∠B，那么就構成了兩三角形相似的條件，得出相似后，即可得出所要求證的比例關系；
（2）要使（1）的條件成立，就必須保證△ABC和△CDE相似，因此就要保證∠DCF=∠BAC，那么需要滿足的條件就應該是（也可以寫成角相等，線段相等或平行等樣式）．
解答：（1）證明：連接AC．
∵C是的中點，
∴，∠BAC=∠DAC
∵CE切⊙O于點C，點C在⊙O上
∴∠DCE=∠DAC=∠BAC，
∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，
∴∠EDC=∠B，
∴△EDC∽△CBA，
∴，
∴AB•DE=CD•BC；

（2）解：如圖，條件為：（或DF=BC或∠DAF=∠BAC
或∠DCF=∠BAC或FC∥BD等）
如圖，（圖中虛線為可能畫的線）．
點評：本題主要考查了圓的內接四邊形，相似三角形的判定和性質等知識點，通過構建相似三角形來來求解是解題的關鍵．