Question

【題目】如圖：三角形ABC內接于圓O，∠BAC與∠ABC的角平分線AE，BE相交于點E，延長AE交外接圓O于點D，連接BD，DC，且∠BCA=60°

（1）求∠BED的大小；
（2）證明：△BED為等邊三角形；
（3）若∠ADC=30°，圓O的半徑為r，求等邊三角形BED的邊長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠BCA=60°，

∴∠BAC+∠ABC=180°-∠BCA=180°-60°=120°，

∵∠BAC與∠ABC的角平分線AE，BE相交于點E，

∴∠ABE+∠BAE= （∠BAC+∠ABC）= ×120°=60°，

∴∠BED=∠ABE+∠BAE=60°

（2）證明：∵∠BCA=60°，

∴∠ADB=∠BCA=60°，

∴∠DBE=180°-∠BED-∠ADB=180°-60°-60°=60°，

∴△BED為等邊三角形

（3）解：∵∠ADC=30°，∠ADB=60°，

∴∠BDC=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，

∴BC是⊙O的直徑，

∵∠BCA=60°，

∴∠ABC=90°-60°=30°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=15°，

∴∠DBC=∠DBE-∠CBE=60°-15°=45°，

∴BD=BCcos45°=2r× = r．

即等邊△BED的邊長為 r

【解析】（1）根據三角形內角和定理和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，求出∠BED的值；（2）根據圓周角定理和三角形內角和定理得到△BED為等邊三角形；（3）根據圓周角定理，得到BC是⊙O的直徑，根據角平分線定義求出∠CBE的度數，根據三角函數求出等邊△BED的邊長.
【考點精析】掌握圓周角定理是解答本題的根本，需要知道頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．