Question

【題目】點為正方形的邊上任意一點，在正方形內部做等腰直角．

（1）如圖1，若，則_________（請直接寫出答案）

（2）作關于的對稱點，連接交于點．

①補全圖形1；

②證明：四邊形ECHF為平行四邊形．

（3）在（2）的條件下，連接，請直接寫出和之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②見解析；（3）

【解析】

(1)在中，利用勾股定理求得，再在是等腰直角三角形AEF中利用勾股定理即可求解；

(2)①按照要求補全圖形即可；

②作MN⊥AB，交DC于N，交AB于M，證得△AMF≌△FNE，根據全等三角形的性質證明點F在正方形ABCD的線BD上，設法證明FH=EC，FH∥EC，從而證明結論；

(3)根據②的過程，利用勾股定理證得 ，，從而得到．

(1)∵四邊形ABCD是正方形，AB=6，EC=2，
∴AB=AD=DC=6，∠ADE=90，

在中，AD= 6，DE=DC-EC=6-2=4，

∴，

∵AEF是等腰直角三角形，且∠AFE=90，

∴AF=EF，

∵，即，

∴；

(2)①補全圖形如圖所示：

②如圖，過點F作MN⊥AB，交DC于N，交AB于M，連接BD，

∵AB∥CD，MN⊥AB，∠AFE=90，
∴MN⊥CD，
∴∠AFM+∠EFN=90°，∠AFM +∠FAM=90°，
∴∠EFN =∠FAM，

在△AMF和△FNE中，

，
∴△AMF≌△FNE(AAS)，
∴AM=FN，MF=EN，

∵四邊形ABCD是正方形，且MN⊥AB，

∴∠BAD=∠ADC=∠AMN=90°，

∴四邊形ADNM是矩形，

∴AM=DN，

∴FN=DN，

又MN⊥CD，

∴∠FDN=45°，

∴點F在正方形ABCD的線BD上，

又F、H關于BC對稱，

∴MF=FP=PH=EN，FP⊥BC，

∴四邊形BPFM是正方形，四邊形PCNF是矩形，

∴FP=NC，PC=FN，

∴FH=EC，

∵F、H關于BC對稱，

∴FH⊥BC，

∵DC⊥BC，

∴FH∥EC，

∴四邊形ECHF為平行四邊形；

(3)由②得MF=FP，

∴，

∵AM=DN=FN，

∴，

∴．