Question

已知：關于x的方程x²+（m-4）x-3（m-1）=0有兩個不相等的實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）拋物線C：y=-x²-（m-4）x+3（m-1）與x軸交于A、B兩點．若m≤-1且直線l₁：經過點A，求拋物線C的函數解析式；
（3）在（2）的條件下，直線l₁：繞著點A旋轉得到直線l₂：y=kx+b，設直線l₂與y軸交于點D，與拋物線C交于點M（M不與點A重合），當時，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）方程有兩個不等的實數根，則判別式△＞0，據此即可得到關于m的不等式求得m的范圍；
（2）求得拋物線與x軸的兩個交點坐標，y=-x-1經過點A點，則A可能是兩個交點中的任意一個，分兩種情況進行討論，把點的坐標代入直線的解析式，即可求得m的值；
（3）設出M點的坐標，當點M在A點的右側時，可得=，據此即可求得M的橫坐標，則M的坐標可以得到，代入函數解析式，利用待定系數法即可求得k值；
當點M與A點重合時直線l₂與拋物線C只有一個公共點，則兩個函數解析式組成的方程組，只有一個解，利用根的判別式即可求解；
當點M在A點的左側時，可證=，可以求得M的橫坐標，則M的坐標可以得到，代入函數解析式，利用待定系數法即可求得k值．
解答：解：（1）△=（m-4）²-4[-3（m-1）]=（m+2）²，
∵方程x²+（m-4）x-3（m-1）=0有兩個不相等的實數根，
∴△＞0，
∴m≠-2；

（2）拋物線y=-x²-（m-4）x+3（m-1）中，令y=0，
則x²+（m-4）x-3（m-1）=0，
解得：x₁=3，x₂=1-m．
∴拋物線與x軸的交點坐標為（3，0）和（1-m，0），
∵直線l₁：y=-x-1經過點A，
當點A坐標為（3，0）時-×3-1=0，
解得m=-，
當點A坐標為（1-m，0）時，-×（1-m）-1=0，
解得m=2或m=-1，
又∵m≤-1，
∴m=-1且A（2，0），
∴拋物線C的解析式為y=-x²+5x-6；

（3）設M（x_M，-x_M²+5x_M-6），
①當點M在A點的右側時，可證=，
若=，則=，
此時x_M=5，M（5，-6），
過點A的直線l₂：y=kx+b的解析式為y=kx-2k，M（5，-6）時，5k-2k=-6，
求得k=-2；
②當點M與A點重合時直線l₂與拋物線C只有一個公共點，
解得，
則x²+（k-5）x+6-2k=0，
令△=（k-5）²-4（6-2k）=0，求得k=1；
③當點M在A點的左側時，
可證=，
若=，則=，此時x_M=-1，則M的坐標是：（-1，-12），
則-k-2k=-12，解得k=4．
綜上所述，當時-2≤k≤4且k≠1．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法、相似三角形的判定與性質等知識點．主要考查學生數形結合的數學思想方法．