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精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
觀察下列成立的式子：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
4×5
=
1
4
-
1
5
…
（1）則第n個算式為
1
n(n+1)
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
（n為正整數）
1
n
-
1
n+1
（n為正整數）
．
（2）如果將上列式子左右相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+
1
5
=1-
1
5
=
4
5
根據這個結果，則請你直接寫出下列式子的結果：①
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2008×2009
=
2008
2009
2008
2009
；
②
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n×(n+1)
=
n
n+1
n
n+1
；
（3）探究并計算
1
2
+
1
6
+
1
12
+
1
20
+
1
30
+
1
42
+
1
56
+
1
72
+
1
90
．
分析：（1）先總結出通項公式
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
（n為正整數）；
（2）先拆分，再進行分式的加減運算；
（3）先將分母變形為n（n+1）的形式，再拆分，最后進行分式的加減運算．
解答：解：（1）觀察給出的式子可知：第n個算式為
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
（n為正整數）；

（2）①
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2008×2009

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2008
-
1
2009

=1-
1
2009

=
2008
2009
；
②
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n×(n+1)

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n
-
1
n+1

=1-
1
n+1

=
n
n+1
；

（3）
1
2
+
1
6
+
1
12
+
1
20
+
1
30
+
1
42
+
1
56
+
1
72
+
1
90

=
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+
1
5×6
+
1
6×7
+
1
7×8
+
1
8×9
+
1
9×10

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
9
-
1
10

=1-
1
10

=
9
10
．
故答案為：
2008
2009
；
n
n+1
．
點評：本題是一個找規律的題目，考查了分式的加減，找出通項公式是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

16、觀察下列算式：
①1×3-22=3-4=-1
②2×4-32=8-9=-1
③3×5-42=15-16=-1
④
4×6-52=24-25=-1

…
（1）請你按以上規律寫出第4個算式；
（2）把這個規律用含字母的式子表示出來；
（3）你認為（2）中所寫出的式子一定成立嗎？并說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

觀察下列式子：2×4+1=32；4×6+1=52；6×8+1=72；…．
（1）請你以上規律寫出第4個等式：
8×10+1=9 2
8×10+1=9 2
；
（2）根據你發現的規律，請寫出第n個等式
2n（2n+2）+1=（2n+1） 2
2n（2n+2）+1=（2n+1） 2
；
（3）你認為（2）中所寫的等式一定成立嗎？并說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題

觀察下列成立的式子：數學公式，數學公式，數學公式，數學公式…
（1）則第n個算式為______=______．
（2）如果將上列式子左右相加得：
數學公式數學公式根據這個結果，則請你直接寫出下列式子的結果：①數學公式=______；
②數學公式+數學公式+數學公式+…+數學公式=______；
（3）探究并計算數學公式．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

觀察下列成立的式子：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
4×5
=
1
4
-
1
5
…
（1）則第n個算式為______=______．
（2）如果將上列式子左右相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+
1
5
=1-
1
5
=
4
5
根據這個結果，則請你直接寫出下列式子的結果：①
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2008×2009
=______；
②
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n×(n+1)
=______；
（3）探究并計算
1
2
+
1
6
+
1
12
+
1
20
+
1
30
+
1
42
+
1
56
+
1
72
+
1
90
．

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同步練習冊答案
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