Question

（2013•溧水縣一模）某種商品的進價為每件50元，售價為每件60元．為了促銷，決定凡是購買10件以上的，每多買一件，售價就降低0.10元（例如，某人買20件，于是每件降價0.10×（20-10）=1元，就可以按59元/件的價格購買），但是最低價為55元/件．同時，商店在出售中，還需支出稅收等其他雜費1.6元/件．
（1）求顧客一次至少買多少件，才能以最低價購買？
（2）寫出當一次出售x件時（x＞10），利潤y（元）與出售量x（件）之間的函數關系式；
（3）有一天，一位顧客買了47件，另一位顧客買了60件，結果發現賣了60件反而比賣了47件賺的錢少．為了使每次賣的越多賺的錢也越多，在其他促銷條件不變的情況下，最低價55元/件至少要提高到多少？為什么？

Answer 1

分析：（1）設顧客一次至少購買x件，則超過了（x-10）件，每件就應該減少0.1（x-10）元，就可以建立等式為60-0.1（x-10）=55，求出其解就可以了；
（2）根據利潤=（每件售價-每件進價）×數量建立等式就可以表示出y與x之間的函數關系式；
（3）先將y與x之間的關系變為頂點式，求出拋物線的對稱軸，根據拋物線的性質就可以求出最大利潤的數量，從而可以確定最低售價．

解答：解 （1）設顧客一次至少購買x件，由題意，得
60-0.1（x-10）=55，
解得：x=60；

（2）由題意，得
當10＜x≤60時，
y=[60-0.1（x-10）-50]x-1.6x
=-0.1x²+9.4x；
當x＞60時，
y=（55-50-1.6）x=3.4x．

（3）∵當10＜x≤60時，
y=-0.1x²+9.4x
∴y=-0.1（x-47）²+220.9，
∵a=-0.1＜0，
∴拋物線的開口向下，對稱軸是x=47，
∴在對稱軸的左側y隨x的增大而增大，
∴x=47時，利潤y有最大值，而超過47時，利潤y反而隨x的增大而減少．
要想賣的越多賺的越多，即y隨x的增大而增大，
∴二次函數性質可知，x≤47，
∴當x=47時，最低售價應定為60-0.1（47-10）=56.3元．

點評：本題考查了列一元一次方程解實際問題的運用，利潤=（每件售價-每件進價）×數量的運用，二次函數的解析式的運用，頂點式的運用，在解答時求出利潤的解析式是關鍵，靈活運用解析式解決問題是難點．