Question

如圖1，△ABC中，CA=CB，點O在高CH上，OD⊥CA于點D，OE⊥CB于點E，以O為圓心，OD為半徑作⊙O．

（1）求證：⊙O與CB相切于點E；

（2）如圖2，若⊙O過點H，且AC=5，AB=6，連接EH，求△BHE的面積．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三線合一得到CH為角平分線，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分線定理得到OE=OD，利用切線的判定方法即可得證；

（2）由CA=CB，CH為高，利用三線合一得到AH=BH，在直角三角形ACH中，利用勾股定理求出CH的長，由圓O過H，CH垂直于AB，得到圓O與AB相切，由（1）得到圓O與CB相切，利用切線長定理得到BE=BH，如圖所示，過E作EF垂直于AB，得到EF與CH平行，得出△BEF與△BCH相似，由相似得比例，求出EF的長，由BH與EF的長，利用三角形面積公式即可求出△BEH的面積．

試題解析：（1）證明：∵CA=CB，點O在高CH上，

∴∠ACH=∠BCH，

∵OD⊥CA，OE⊥CB，

∴OE=OD，

∴圓O與CB相切于點E；

（2）【解析】
∵CA=CB，CH是高，

∴AH=BH=AB=3，

∴CH=，

∵點O在高CH上，圓O過點H，

∴圓O與AB相切于H點，

由（1）得圓O與CB相切于點E，

∴BE=BH=3，

如圖，過E作EF⊥AB，則EF∥CH，

∴△BEF∽△BCH，

∴，

即，

解得：EF=，

∴S△BHE=BH•EF=×3×=.

考點：1.切線的判定與性質；2.勾股定理；3.相似三角形的判定與性質．