Question

已知A，A是拋物線y=

1

2

x²上兩點，A₁B₁，A₃B₃分別垂直于x軸，垂足分別為B₁，B₃，點C是線段A₁A₃的中點，過點C作CB₂垂直于x軸，垂足為B₂，CB₂交拋物線于點A₂．

（1）如圖1，已知A₁，A₃兩點的橫坐標依次為1，3，求線段CA₂的長；
（2）如圖2，若將拋物線y=

1

2

x²改為拋物線y=

1

2

x²-x+1，且A₁，A₂，A₃三點的橫坐標為連續的整數，其他條件不變，求線段CA₂的長；
（3）若將拋物線y=

1

2

x²改為拋物線y=ax²+bx+c（a＞0），A₁，A₂，A₃三點的橫坐標為連續整數，其他條件不變，試猜想線段CA₂的長（用a，b，c表示，并直接寫出答案）．

Answer 1

分析：（1）本題都要先根據B₁，B₂，B₃的橫坐標來確定B₂的橫坐標（DB₂是梯形A₁B₁B₃A₃的中位線，B₂是B₁B₃的中點），
（2）根據B₁，B₂，B₃的橫坐標得出A₁，A₂，A₃的縱坐標，進而可根據CA₂=

A1B1+A3B3

2

-A₂B₂，也就是A₃A₁縱坐標的差的絕對值的一半減去A₂的縱坐標．由此可求出CA₂的長．

解答：解：（1）∵A₁，A₃的橫坐標依次為1，3，
∴A₁B₁=

1

2

×1²=

1

2

，A₃B₃=

1

2

×3²=

9

2

，
由已知可得A₁B₁∥CB₂∥A₃B₃．
又∵C為A₁A₃的中點，
∴B₂為B₁B₃的中點，
∴B₂點的橫坐標為2，
∴A₂B₂=

1

2

×2²=2，
而CB₂=

1

2

（A₁B₁+A₃B₃）
=

1

2

（

1

2

+

9

2

）+

5

2

∴CA₂=CB₂-A₂B₂=

5

2

-2
=

1

2

．

（2）設A₁，A₂，A₃三點的橫坐標依次為n-1，n，n+1，
則A₁B₁=

1

2

（n-1）²-（n-1）+1，A₂B₂=

1

2

n²-n+1，
A₃B₃=

1

2

（n+1）²-（n+1）+1，
由已知可得A₁B₁∥A₃B₃∥AB₂，
∴CB₂=

1

2

（A₁B₁+A₃B₃）
=

1

2

[

1

2

（n-1）²-（n-1）+1+

1

2

（n+1）²-（n+1）+1]
=

1

2

n²-n+

3

2

，
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=

1

2

n²-n+

3

2

-（

1

2

n²-n+1）=

1

2

．

（3）當a＞0時，CA₂=a．

點評：本題主要考查了中位線和二次函數的相關知識，根據中位線確定B₂的坐標，進而得出A₂點的縱坐標是解題的關鍵