Question

（本題12分）如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點，且BE=2CE；F為AB上一動點，BF=nAF，

（1）若n=1，則= ，= ；

（2）若n=2，求證：8AP=3PE

（3）當n=_____時，AE⊥DF（直接填出結果）

 

Answer 1

（1）； （2）證明見試題解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）可通過構建相似三角形，根據相似三角形的對應邊成比例來求解．

（2）同（1）解法．

（3）根據已知及相似三角形的性質進行求解．

試題解析：（1）延長AE交DC的延長線于H，

∵四邊形ABCD為正方形，∴AB∥DH，∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，∴△BEA∽△CEH，

∴，

設EC=m，則AB=BC=CD=3m，BE=2m，CH=1.5m，

同理：△AFP∽△DPH，

∴FP：PD=AP：PH=AF：DH=1.5m：4.5m=1：3，

設AP=n，PH=3n，AH=4n，AE：EH=2：1，EH=，∴PE=，

∴AP：PE=3：5，

∴，；

（2）證明：如圖，延長AE交DC的延長線于H，

∵四邊形ABCD為正方形，∴AB∥DH，∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，∴△BEA∽△CEH，

∴，

設EC=2a，BE=4a，則AB=BC=CD=6a，CH=3a，AF=2a，

同理：△AFP∽△HDP，，

設AP=2k，PH=9k，∴AH=11k，∴EH=，∴PE=，∴，∴8AP=3PE；

（3）當AE⊥DF時，tan∠BAE=PF：AP=BE：AB=2：3，

∵△AFP∽△AFD，∴FP：AP=AF：AD=2：3，∴AF=AD=AB，BF=AB，

∴BF=AF，∴．

考點：1．正方形的性質；2．相似三角形的判定與性質．