Question

如圖，兩等圓⊙O₁、⊙O₂相交于A、B兩點，且兩圓互相過圓心，過B作任一直線，分別交⊙O₁、⊙O₂于C、D兩點，連接AC、AD．
（1）試猜想△ACD的形狀，并給出證明．
（2）若已知條件中兩圓不一定互相過圓心，試猜想三角形的形狀是怎樣的？證明你的結論．
（3）若⊙O₁、⊙O₂是兩個不相等的圓，半徑分別為R和r，那么（2）中的猜想還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，那么AC和AD的長與兩圓半徑有什么關系？說明理由．

Answer 1

解：（1）△ACD為等邊三角形．
∵兩圓是等圓，且兩圓互相過圓心，如圖，
連接AO₁，AO₂，BO₁，BO₂，O₁O₂，
則AO₁=AO₂=BO₁=BO₂=O₁O₂，
∴∠AO₁B=∠AO₂B=120°，
∴∠ADB=∠ACB=60°，
∴△ACD為等邊三角形．

（2）△ACD為等腰三角形．
∵兩圓是等圓，如圖，
連接AO₁，AO₂，BO₁，BO₂，
則AO₁=AO₂=BO₁=BO₂，∴∠AO₁B=∠AO₂B，
∴∠ADB=∠ACB；
∴△ACD為等腰三角形．

（3）不成立，此時，=，
如圖，分別作⊙O₁，⊙O₂的直徑AE，AF，分別交兩圓于E，F兩點，
連接CE，DF，AB，則∠ACE=∠ADF=90°
又∠ABC是圓內接四邊形ABDF的外角，
∴∠ABC=∠AFD．
∵∠ABC=∠AEC，
∴∠AEC=∠AFD，
∵∠ACE=∠ADF，
∴△ACE∽△ADF，
∴===．
分析：（1）先判斷△ACD為等邊三角形．連接AO₁，AO₂，BO₁，BO₂，O₁O₂，根據已知條件能證明∠ADB=∠ACB=60°，則△ACD為等邊三角形．
（2）先判斷△ACD為等腰三角形．連接AO₁，AO₂，BO₁，BO₂，根據已知條件能證明∠ADB=∠ACB，則△ACD為等腰三角形．
（3）得出結論，不成立，此時，=，
連接CE，DF，AB，則有∠AEC=∠ADF=90°，根據圓內接四邊形外角的性質得出∠ABC=∠AFD．再證明△ACE∽△ADF，根據相似三角形的性質得出=．
點評：本題考查了相交兩圓的性質、等腰三角形的判定、圓周角定理以及圓內接四邊形的性質，是一道綜合題難度較大．