Question

（2010•樂(lè)山）勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，其中蘊(yùn)含著豐富的科學(xué)知識(shí)和人文價(jià)值．如圖所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定規(guī)律長(zhǎng)成的勾股樹(shù)，樹(shù)主干自下而上第一個(gè)正方形和第一個(gè)直角三角形的面積之和為S₁，第二個(gè)正方形和第二個(gè)直角三角形的面積之和為S₂，…，第n個(gè)正方形和第n個(gè)直角三角形的面積之和為S_n．設(shè)第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1．
請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）S₁=    ；
（2）通過(guò)探究，用含n的代數(shù)式表示S_n，則S_n=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)正方形的面積公式求出面積，再根據(jù)直角三角形三條邊的關(guān)系運(yùn)用勾股定理求出三角形的直角邊，求出S₁，然后利用正方形與三角形面積擴(kuò)大與縮小的規(guī)律推導(dǎo)出公式．
解答：解：（1）∵第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1，
∴正方形的面積為1，
又∵直角三角形一個(gè)角為30°，
∴三角形的一條直角邊為，另一條直角邊就是=，
∴三角形的面積為÷2=，
∴S₁=1+；

（2）∵第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，它的面積就是，也就是第一個(gè)正方形面積的，
同理，第二個(gè)三角形的面積也是第一個(gè)三角形的面積的，
∴S₂=（1+）•，依此類(lèi)推，S₃=（1+）••，即S₃=（1+）•，
S_n=（）•（n為整數(shù)）．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了勾股定理的運(yùn)用．