Question

（2010•樂山）勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系，其中蘊含著豐富的科學知識和人文價值．如圖所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定規律長成的勾股樹，樹主干自下而上第一個正方形和第一個直角三角形的面積之和為S₁，第二個正方形和第二個直角三角形的面積之和為S₂，…，第n個正方形和第n個直角三角形的面積之和為S_n．設第一個正方形的邊長為1．
請解答下列問題：
（1）S₁=    ；
（2）通過探究，用含n的代數式表示S_n，則S_n=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據正方形的面積公式求出面積，再根據直角三角形三條邊的關系運用勾股定理求出三角形的直角邊，求出S₁，然后利用正方形與三角形面積擴大與縮小的規律推導出公式．
解答：解：（1）∵第一個正方形的邊長為1，
∴正方形的面積為1，
又∵直角三角形一個角為30°，
∴三角形的一條直角邊為，另一條直角邊就是=，
∴三角形的面積為÷2=，
∴S₁=1+；

（2）∵第二個正方形的邊長為，它的面積就是，也就是第一個正方形面積的，
同理，第二個三角形的面積也是第一個三角形的面積的，
∴S₂=（1+）•，依此類推，S₃=（1+）••，即S₃=（1+）•，
S_n=（）•（n為整數）．
點評：本題重點考查了勾股定理的運用．