Question

【題目】如圖，已知正方形中，為對角線，點在邊上，點在邊上，，、與分別交于點、，，，則__．

Answer 1

【答案】

【解析】

延長EA至H，使AH=CF，連結DH，證明△DCF≌△DAH，得∠CDF=∠ADH，證明△HDE≌△FDE，則∠EDF=45°，將△ADM繞點D逆時針旋轉90°，使DA邊與DC邊重合，得到△DCQ，根據SAS判定△DMN≌△DQN，可得MN=NQ，∠NCQ=90°，則NQ可求出．

解：延長EA至H，使AH=CF，連結DH，

在Rt△DCF和Rt△DAH中，
∵AH=CF，AD=CD，∠HAD=∠FCD=90°，
∴Rt△DCF≌Rt△DAH（SAS），
∴∠CDF=∠ADH，DH=DF，
∵AE+FC=EF，
∴EF=EH，
∵DE=DE，
∴△HDE≌△FDE（SSS），
∴∠HDE=∠FDE，
∴∠EDF=∠ADC=45°，
將△ADM繞點D逆時針旋轉90°，使DA邊與DC邊重合，得到△DCQ，連結NQ，
由旋轉可得，△ADM≌△DCQ，
∴AM=CQ，∠ADM=∠CDQ，
∵∠EDF=45°，∠ADC=90°，
∴∠ADM+∠FDC=45°，
∴∠CDQ+∠FDC=45°，即∠NDQ=45°，
在△DMN和△DQN中，

∴△DMN≌△DQN（SAS），
∴MN=NQ，
又∠NCQ=∠NCD+∠DCQ=45°+45°=90°，
在Rt△NCQ中，NQ2=CQ2+NC2，即MN2=AM2+NC2
∵AM=4，NC=2，

∴

故答案為：