Question

如圖：已知，直線l₁⊥l₂，垂足為y軸上一點A，線段OA=2，OB=1．
（1）請直接寫出A、B、C三點的坐標；
（2）已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象過點A、B、C，求出函數的解折式；
（3）（2）中的拋物線的對稱軸上存在P，使△PBC為等腰直角三角形，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

解：（1）由已知得；A（0，2），B（-1，0），
根據射影定理得：OC=4，
故C（4，0）；

（2）先將B、C點坐標代入解析式得：
求得：
再將C點代入解析式可得：c=2，
所以解析式為y=-x²+x+2；

（3）易知BC=4-（-1）=5，拋物線的對稱軸為x=1.5．
若存在符合條件的P點，根據等腰直角三角形的性質可知：
|y_P|=BC=2.5，
故：P（1.5，2.5）或P（1.5，-2.5）．
分析：（1）已知了OA，OB的長，可直接寫出A，B的坐標，求C點坐標時，可用射影定理先求出OC的長，進而可得出C的坐標；
（2）由于拋物線過B，C兩點，因此可將拋物線的解析式設為交點式，然后根據A點的坐標可得出拋物線的解析式；
（3）根據拋物線的解析式即可得出P點的橫坐標，如果△PBC為等腰直角三角形，那么BC長的一半就是P點縱坐標的絕對值，由此可得出P點的坐標．
點評：本題考查了二次函數解析式的確定以及等腰直角三角形的判定等知識點，確定出二次函數的解析式是解題的關鍵．