Question

【題目】如圖①，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB平行于x軸，OA=2OB，AB=5，反比例函數的圖象經過點A．

（1）直接寫出反比例函數的解析式；

（2）如圖②，P（x，y）在（1）中的反比例函數圖象上，其中1＜x＜8，連接OP，過O 作OQ⊥OP，且OP=2OQ，連接PQ．設Q坐標為（m，n），其中m＜0，n＞0，求n與m的函數解析式，并直接寫出自變量m的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若Q坐標為（m，1），求△POQ的面積．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）n=（﹣4＜m＜﹣）；（3）5.

【解析】

（1）如圖①，

∵∠AOB=90°，

∴OA2+OB2=AB2，

∵OA=2OB，AB=5，

∴4OB2+OB2=25，解得OB=，

∴OA=2，

∵AB平行于x軸，

∴OC⊥AB，

∴OCAB=OBOA，即OC==2，

在Rt△AOC中，AC=4，

∴A點坐標為（4，2），

設過A點的反比例函數解析式為y=，

∴k=4×2=8，

∴反比例函數解析式為y=；

（2）分別過P、Q作x軸垂線，垂足分別為D、H，如圖②，

∵OQ⊥OP，

∴∠POH+∠QOD=90°，

∵∠POH+∠OPH=90°，

∴∠QOD=∠OPH，

∴Rt△POH∽Rt△OQD，

∴，

∵P（x，y）在（1）中的反比例函數圖象上，其中1＜x＜8，Q點坐標為（m，n），其中m＜0，n＞0，OP=2OQ，

∴PH=y，OH=x，OD=﹣m，QD=n，

∴，解得x=2n，y=﹣2m，

∵y=，

∴2n（﹣2m）=8，

∴mn=﹣2（﹣4＜m＜﹣），

∴n=（﹣4＜m＜﹣）；

（3）∵n=1時，m=﹣2，即Q點坐標為（﹣2，1），

∴OQ=，

∴OP=2OQ=，

∴S△POQ=．