Question

已知A、B、C、D是圓O上的四點，弧CD＝弧BD，AC是四邊形ABCD的對角線，（1）如圖，連接BD，若∠CDB＝60°，求證：AC是∠DAB的平分線；

   （2）如圖，過點D作DE⊥AC，垂足為E，若AC＝7，AB＝5，求線段AE的長度.

Answer 1

（1）證明：∵ ＝，

     ∴ CD＝BD.        

     又∵∠CDB＝60°，

     ∴△CDB是等邊三角形. 

     ∴ ∠CDB＝∠DBC.    

    ∴   ＝.

∴ ∠DAC＝∠CAB.

∴ AC是∠DAB的平分線.    

（2）解法一：連結DB.      

在線段CE上取點F，使EF＝AE，連結DF.   

∵ DE⊥AC，

∴ DF＝DA，∠DFE＝∠DAE.    

∵ ＝，

∴ CD＝BD.

∴∠DAC＝∠DCB.

∴ ∠DFE＝∠DCB.  

∵ 四邊形ABCD是圓內接四邊形，

∴ ∠DAB＋∠DCB＝180°.

又∵∠DFC＋∠DFE＝180°，

∴ ∠DFC＝∠DAB

∵∠DCA＝∠ABD，

∴△CDF≌△BDA.  

∴CF＝AB.      

∵AC＝7， AB＝5，

∴ AE＝1.      

解法二：在上取一點F，使得＝ ，

     連結CF，延長CF，過D作DG⊥CF，垂足為G.