Question

已知：點P（a+1，a-1）關于x軸的對稱點在反比例函數y=-

8

x

（x＞0）的圖象上，y關于x的函數y=k²x²-（2k+1）x+1的圖象與坐標軸只有兩個不同的交點A﹑B，求P點坐標和△PAB的面積．

Answer 1

分析：（1）由點P（a+1，a-1）關于x軸的對稱點在反比例函數y=-

8

x

（x＞0）的圖象上可知（a+1）（-a+1）=-8，求出a即得求P點坐標
（2）在y=k²x²-（2k+1）x+1中k可能為0（一次函數y=-x+1），也可能不為0（二次函數y=k²x²-（2k+1）x+1），根據題意，結合一次函數二次函數與坐標軸交點特點，易求點A、B坐標，即能求△PAB的面積

解答：解：（1）∵P點關于x軸的對稱點為（a+1，-a+1），它在y=-

8

x

（x＞0）圖象上，且在第四象限
∴（a+1）（-a+1）=-8，即a²=9
∴a=3（a=-3舍去）
∴P（4，2）（2分）

（2）當k=0時，y=-x+1，
設一次函數圖象與x軸交于A，與y軸交于B，則A（1，0），B（0，1）
此時，S_△PAB=

1

2

×(1+2)×4-

1

2

×1×1-

1

2

×3×2=

5

2

（4分）
當k≠0時，函數y=k²x²-（2k+1）x+1的圖象為拋物線，與y軸交于B（0，1）
∵它的圖象與坐標軸只有兩個交點
∴它的圖象與x軸只有一個交點，設為A點
∴△=（2k+1）²-4k²=0
解得：k=-

1

4

（5分）
∴拋物線y=

1

16

x2-

1

2

x+1=

1

16

(x-4)2與x軸交于A（4，0）
∴此時，S△PAB=

1

2

×2×4=4
綜合得：△PAB的面積為

5

2

或4．（7分）

點評：此題難度較大，考查一次函數、二次函數的圖象和性質，還滲透分類討論思想，綜合性大．