Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+6經過點A（-3，0）和點B（2，0）．直線y=h（h為常數，且0＜h＜6）與BC交于點D，與y軸交于點E，與AC交于點F，與拋物線在第二象限交于點G．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接BE，求h為何值時，△BDE的面積最大；

（3）已知一定點M（-2，0）．問：是否存在這樣的直線y=h，使△OMF是等腰三角形？若存在，請求出h的值和點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1） y=-x2-x+6．（2） 當h=3時，△BDE的面積最大，最大面積是．（3） 存在這樣的直線y=2或y=4，使△OMF是等腰三角形，當h=4時，點G的坐標為（-2，4）；當h=2時，點G的坐標為（，2）．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線y=ax2+bx+6經過點A（-3，0）和點B（2，0），利用待定系數法即可求得拋物線的解析式；

（2）首先利用待定系數法求得經過點B和點C的直線的解析式，由題意可得點E的坐標為（0，h），則可求得點D的坐標為（，h），則可得S△BDE=•OE•DE=•h•

=-（h-3）2+，然后由二次函數的性質，即可求得△BDE的面積最大；

（3）分別從①若OF=OM，則、②若OF=MF，則與③若MF=OM，則去分析求解即可求得答案．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+6經過點A（-3，0）和點B（2，0），

∴．

解得：．

∴拋物線的解析式為y=-x2-x+6．

（2）∵把x=0代入y=-x2-x+6，得y=6．

∴點C的坐標為（0，6）．

設經過點B和點C的直線的解析式為y=mx+n，則

，

解得．

∴經過點B和點C的直線的解析式為：y=-3x+6．

∵點E在直線y=h上，

∴點E的坐標為（0，h）．

∴OE=h．

∵點D在直線y=h上，

∴點D的縱坐標為h．

把y=h代入y=-3x+6，得h=-3x+6．

解得x=．

∴點D的坐標為（，h）．

∴DE=．

∴S△BDE=•OE•DE=•h•

=-（h-3）2+．

∵-＜0且0＜h＜6，

∴當h=3時，△BDE的面積最大，最大面積是．

（3）存在符合題意的直線y=h．

設經過點A和點C的直線的解析式為y=kx+p，則

，

解得

．

故經過點A和點C的直線的解析式為y=2x+6．

把y=h代入y=2x+6，得h=2x+6．

解得x=．

∴點F的坐標為（，h）．

在△OFM中，OM=2，OF=，MF=．

①若OF=OM，則，

整理，得5h2-12h+20=0．

∵△=（-12）2-4×5×20=-256＜0，

∴此方程無解．

∴OF=OM不成立．

②若OF=MF，則，

解得h=4．

把y=h=4代入y=-x2-x+6，得-x2-x+6=4，

解得x1=-2，x2=1．

∵點G在第二象限，

∴點G的坐標為（-2，4）．

③若MF=OM，則，

解得h1=2，h2=-（不合題意，舍去）．

把y=h1=2代入y=-x2-x+6，得-x2-x+6=2．

解得x1=，x2=．

∵點G在第二象限，

∴點G的坐標為（，2）．

綜上所述，存在這樣的直線y=2或y=4，使△OMF是等腰三角形，當h=4時，點G的坐標為（-2，4）；當h=2時，點G的坐標為（，2）．

考點：二次函數綜合題．