Question

10．如圖1，P為△ABC內一點，連接PA、PB、PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點．
（1）如圖2，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中線，過點B作BE⊥CD，垂足為E，試說明E是△ABC的自相似點．
（2）在△ABC中，如圖3，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的內心P是該三解形的自相似點，求該三角形三個內角的度數．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件得出∠BEC=∠ACB，以及∠BCE=∠ABC，得出△BCE∽△ABC，即可得出結論；
（2）根據∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=∠2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，即可得出各內角的度數．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中線，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴CD=BD，
∴∠BCE=∠ABC，
∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴△BCE∽△ABC，
∴E是△ABC的自相似點；

（2）∵P是△ABC的內心，∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵△ABC的內心P是該三角形的自相似點，
∴∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，
∴∠A+2∠A+4∠A=180°，
∴∠A=$\frac{180°}{7}$，
∴該三角形三個內角度數為：$\frac{180°}{7}$，$\frac{360°}{7}$，$\frac{720°}{7}$．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定以及三角形的內心作法和作一角等于已知角，此題綜合性較強，注意從已知分析獲取正確的信息是解決問題的關鍵．