Question

【題目】如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的對稱軸是．

（1）求拋物線的解析式．

（2）平移直線經(jīng)過原點(diǎn)，得到直線，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，若點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段的延長線上，連接，，且．求證：．

（3）若（2）中的點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使四邊形是矩形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

【解析】

（1）先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后依據(jù)拋物線過點(diǎn)A，對稱軸是，列出關(guān)于a、c的方程組求解即可；
（2）設(shè)P（3n，n），則PC=3n，PB=n，然后再證明∠FPC=∠EPB，最后通過等量代換進(jìn)行證明即可；
（3）設(shè)，然后用含t的式子表示BE的長，從而可得到CF的長，于是可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得到，，從而可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含t的式子表示），最后，將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得t的值即可．

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

解得，即，

拋物線過點(diǎn)，對稱軸是，

得，

解得，拋物線的解析式為；

（2）∵平移直線經(jīng)過原點(diǎn)，得到直線，

∴直線的解析式為.

∵點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，

∴，則，.

又∵，

∴.

∵軸，軸

∴

∴

∵，

∴，

∴.

（3）設(shè)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖所示，則.

∵，

∴.

∴.

∵四邊形為矩形，

∴，，

∴，，

∴，.

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，

解得：或（舍去）.

∴.

當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如下圖所示，則.

∵，

∴.

∴.

∵四邊形為矩形，

∴，，

∴，，

∴，.

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，

解得：或（舍去）.

∴.

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.