Question

6．已知⊙O的半徑是2，直線l與⊙O相交于A、B兩點．M是⊙O上的一個動點，若∠AMB=45°，則△AMB面積的最大值是2$\sqrt{2}$+2．

Answer 1

分析 過點O作OC⊥AB于C，交⊙O于D點，連結OA、OB、DA、DB根據圓周角定理推出△OAB為等腰直角三角形，求得AB=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$，當M點到AB的距離最大，△MAB的面積最大，即M點運動到D點，問題得解．

解答 解：過點O作OC⊥AB于C，交⊙O于D點，連結OA、OB、DA、DB如圖，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$，
∴當M點到AB的距離最大，△MAB的面積最大；即M點運動到D點，
∴△AMB面積的最大值=$\frac{1}{2}$×AB•DC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×（2+$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$+2，
故答案為：2$\sqrt{2}$+2．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系以及垂徑定理和圓周角定理的運用，正確的作出輔助線是解題的關鍵．