Question

1．如圖，⊙O的半徑為1，A、P、B、C是⊙O上的四個點．∠APC=∠CPB=60°．則四邊形APBC的最大面積是√3．

Answer 1

分析 過C作直徑CP′，連接P′A、P′B，如圖，先利用圓周角定理得到∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，則可判斷△ABC為等邊三角形，再利用圓周角定理得到∠CAP′=∠CBP′=90°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到P′A=P′B=$\frac{1}{2}$CP′=1，AC=BC=$\sqrt{3}$，所以四邊形AP′BC的面積為$\sqrt{3}$，由于點P運動到點P′的位置時，四邊形APBC的最大面積，從而得到四邊形APBC的最大面積．

解答 解：過C作直徑CP′，連接P′A、P′B，如圖，
∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∵CP′為直徑，
∴∠CAP′=∠CBP′=90°，
而∠AP′C=∠APC=60°，∠BP′C=∠BPC=60°，
∴P′A=P′B=$\frac{1}{2}$CP′=1，AC=BC=$\sqrt{3}$，
∴四邊形AP′BC的面積為2×$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
當點P運動到點P′的位置時，四邊形APBC的最大面積，即四邊形APBC的最大面積為$\sqrt{3}$．
故答案為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．