Question

已知：如圖，BC是圓O的弦，線段AD經(jīng)過圓心O，點(diǎn)A在圓上，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AB=4

5

，tan∠A=

1

2

．
（1）弦BC的長；
（2）圓O半徑的長．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理及所給的正切值可得BD的長，乘以2即為弦BC的長；
（2）連接OB，構(gòu)造出以O(shè)C為斜邊的直角三角形，利用勾股定理即可求得半徑長．

解答：解：（1）∵AD⊥BC，tanA=

1

2

，
∴BD=

1

2

AD，（2分）
∵AB=4

5

，BD²+AD²=AB²，
∴BD=4，AD=8，（4分）
又∵經(jīng)過圓心O的直線AD⊥BC，
∴BC=2BD=8；（6分）

（2）連接OB．設(shè)圓O的半徑為r，那么DO=8-r，（7分）
在△BOD中，（8-r）²+4²=r²，（8分）
∴r=5，
即圓O的半徑為5（10分）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了垂徑定理，勾股定理及解直角三角形的知識(shí)；利用題中的直角三角形求解是解決本題的關(guān)鍵．