Question

（1998•紹興）已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BD過梯形的高AE的中點F，且BD⊥DC，設AE=h，BC=a．
（1）用含字母h的代數式表示a；
（2）若a、h是關于x的一元二次方程3x²-3（m+2）x+10m=0的兩根，求sin∠DBC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先由Rt△AFD≌Rt△EFB，可得BF=FD，BE=1；且EF=；且BD=BF；進而可用h表示出BD，BF的長，再根據Rt△BEF∽Rt△BDC，可得；代入h的關系與BC=a可得答案；
（2）由根與系數的關系可得a+h=m+2，ah=；結合（1）的結論，可得a，h的值，進而可得CD的長，再根據三角函數的定義，可得答案．
解答：解：（1）根據題意，AD∥BC，且AF=EF；
易得Rt△AFD≌Rt△EFB，故BF=FD，BE=1；且EF=；
由勾股定理可得：BF=；又可得AD=2AF；
Rt△BEF與Rt△BDC中，有∠BEF=∠BDC=90°，∠B=∠B；
故Rt△BEF∽Rt△BDC，進而可得；
化簡可得：a=2（1+）；即a=2+．

（2）若a、h是關于x的一元二次方程3x²-3（m+2）x+10m=0的兩根，
則a+h=m+2，ah=；
又有a=2+；解可得a=20，h=6；
DC==16；
易得sin∠DBC==．
點評：本題考查梯形，菱形、直角三角形的相關知識．解決此類題要懂得用梯形的常用輔助線，把梯形分割為菱形和直角三角形，從而由菱形和直角三角形的性質來求解．