Question

如圖，AB為弦，直線BC是⊙O的切線，OC交AB于P，PC=BC．                                   
（1）求證：OA⊥OC；
（2）已知⊙O的半徑為3，CP=4，求弦AB的長．

Answer 1

（1）證明：連接OB，
∵OA=OB，CP=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠APO=∠CBP，
∵CB切⊙O于B，
∴∠OBC=90°，
即∠A+∠APO=∠CBP+∠OBA=90°，
∴∠AOC=180°-90°=90°，
∴OA⊥OC．

（2）解：延長CO交⊙O于Q，
∵CP=CB，CP=4，
∴BC=4，
∵CB是⊙O的切線，CMQ是圓O的割線，
由切割線定理得：CB²=CM•CQ，
∴4²=CM（CM+3+3），
解得：CM=2，
∴PM=2，OP=3-2=1，
在△AOP中，由勾股定理得：AP==，
由相交弦定理得：AP×BP=MP×PQ，
∴×BP=2×（3+1），
∴BP=，
∴AB=AP+BP=+=．
分析：（1）連接OB，根據等腰三角形性質求出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，推出∠A=∠OBP，∠APO=∠PBC，根據切線性質求出∠OBC=90°，代入即可求出答案；
（2）延長CO交⊙O于Q，根據切割線定理求出CM，求出PM、OP，根據勾股定理求出AP，根據相交弦定理求出BP即可．
點評：本題綜合考查了圓的切線，相交弦定理，切割線定理，勾股定理，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理等知識點的運用，知道圓的切線，連接圓心和切點，題目綜合性比較強，通過做此題培養了學生綜合運用定理進行推理和計算的能力．