Question

如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，過A、B分別作AE⊥CD、BF⊥CD，分別交直線CD于E、F．
（1）求證：CE=DF；
（2）若AB=20cm，CD=10cm，求AE+BF的值．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)O作OG⊥CD于G，則AE∥OG∥BF，根據(jù)平行線分線段成比例定理與垂徑定理即可證明；
（2）OG是直角梯形ABFE的中位線，則AE+BF=2OG，連接OC，根據(jù)勾股定理和垂徑定理即可求得OG的長，進(jìn)而求解．

解答：（1）證明：過點(diǎn)O作OG⊥CD于G，
∵AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，
∴AE∥OG∥BF，（1分）
∴

OA

OB

=

GE

GF

又∵OA=OB，
∴

GE

GF

=

OA

OB

=

1

1

，
∴GE=GF，（2分）
∵OG過圓心O，OG⊥CD，
∴CG=GD，（3分）
∴EG-CG=GF-GD，
即CE=DF；（4分）

（2）解：連接OC，則OC=

1

2

AB=10，（5分）
∵OG過圓心O，OG⊥CD，
∴CG=

1

2

CD=5，（6分）
∴OG=5

3

，（7分）
∵梯形ABFE中，EG=GF，AO=OB，
∴OG=

1

2

（AE+BF），
∴AE+EF=2OG=10

3

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，利用垂徑定理可以把求弦長或圓心角的問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．