Question

如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，且CD⊥AB，垂足為H．
（1）如果⊙O的半徑為4，CD=4

3

，求∠BAC的度數；
（2）在（1）的條件下，圓周上到直線AC距離為3的點有多少個？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直徑AB垂直于CD，利用垂徑定理得到H為CD的中點，求出CH的長，在直角三角形COH中，利用銳角三角函數定義求出sin∠COH的值，利用特殊角的三角函數值求出∠COH的度數，再由OA=OC，利用等腰三角形的性質及外角性質即可求出∠BAC的度數；
（2）圓周上到直線AC的距離為3的點有2個，理由為：分別求出劣弧AC與弧ADC上到直線AC距離的最大值為2，6，由2＜3＜6，利用圓的對稱性即可得到結果．

解答：解：（1）∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，CD=4

3

，
∴CH=

1

2

CD=2

3

，
在Rt△COH中，sin∠COH=

CH

OC

=

3

2

，
∴∠COH=60°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠COH為△AOC的外角，
∴∠BAC=

1

2

∠COH=30°；　   
（2）圓周上到直線AC的距離為3的點有2個，理由為：
∵劣弧

AC

上的點到直線AC的最大距離為2，

ADC

上的點到直線AC的最大距離為6，且2＜3＜6，
∴由圓的軸對稱性得，

ADC

到直線AC距離為3的點有2個．

點評：此題考查了垂徑定理，特殊角的三角函數值，等腰三角形的性質，以及外角性質，熟練掌握垂徑定理是解本題的關鍵．