Question

如圖，半徑為1的等圓⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，點C從點A出發，在⊙O₁，上逆時針運動；同時點F從點A出發，在⊙O₂上順時針運動，兩點的運動速度相同，⊙O₁的弦CB交⊙O₂于點D．
（1）求證：AD=AF；
（2）若O₁O₂=

2

，射線CA交⊙O₂于點E，試探究CE與CB之間的數量關系．

Answer 1

分析：（1）連接AB，BF，得出

AC

=

AF

，再根據⊙O₁與⊙O₂是等圓，得出∠ABC=∠ABF，即可證出AD=AF；
（2）連接O₁B，O₂B，O₁C，O₂E，O₁O₂，BE，根據⊙O₁與⊙O₂的弧AB相等，得出∠C=∠E，BC=BE，再證出△O₁BC≌△O₂BE，得出∠O₁BC=∠O₂BE，∠CBE=∠O₁BO₂，再根據O₁O₂=

2

，
O₁B=O₂B=1，得出O₁O₂B為等腰直角三角形，∠CBE=∠O₁BO₂=90°，從而證出△CBE也為等腰直角三角形，即可得出CE=

2

BC．

解答：解：（1）連接AB，BF，
∵C從點A出發，點F從點A出發，兩點的運動速度相同，
∴

AC

=

AF

，
∵⊙O₁與⊙O₂是等圓，
∴∠ABC=∠ABF，
∴AD=AF；

（2）連接O₁B，O₂B，O₁C，O₂E，O₁O₂，BE，
∵⊙O₁與⊙O₂的弧AB相等，
∴∠C=∠E，
∴BC=BE，
 在△O₁BC和△O₂BE中，

BC=BE O1B=O2B O1C=O2E

∴△O₁BC≌△O₂BE（SSS），
∴∠O₁BC=∠O₂BE，∠CBE=∠O₁BO₂，
∵O₁O₂=

2

，
O₁B=O₂B=1，
∴O₁O₂B為等腰直角三角形，
∴∠CBE=∠O₁BO₂=90°，
∴△CBE也為等腰直角三角形，
∴CE=

2

BC．

點評：此題考查了圓的綜合，用到的知識點是全等三角形的判定與性質、圓的有關性質、等腰三角形的判定與性質，關鍵是作出輔助線，證出△CBE也為等腰直角三角形．